LOL! La matematica dietro il gioco

Posted on 3 settembre 2011 di

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Questo e’ un post inutile, che nasce da una discussione inutile su un argomento inutile. Vale comunque la pena di parlarne, un po’ per divertire gli amici, un po’ perche’ sono un invasato, un po’ perche’ e’ veramente troppo tempo che non posto su questo blog.

Iniziamo, dunque: non so quanti di voi saranno a conoscenza di un tipo molto particolare di solitario, del cui vero nome non sono a conoscenza, ma che assieme agli amici, durante lunghi pomeriggi di nullafacenza, avevamo chiamato “LOL”. Di seguito la spiegazione di come funziona il gioco (sembra lunga ma in realta’ il gioco e’ molto semplice); se lo conoscete gia’, comunque, balzatevela pure.

Come funziona il gioco

Si prende un mazzo da 40 carte, lo si mischia per bene, dopodiche’ si dispongono 36 carte sul tavolo, in quattro file da nove carte, il che vi lascia in mano 4 carte, come mostra questo rudimentale disegno:

A questo punto, girate la prima carta delle quattro che avete in mano. Poniamo, per esempio, che questa carta sia il 5 di cuori. In tal caso lo mettereste al quinto posto della prima fila, scoperchiando la carta che vi era prima. Poniamo che la carta che scoperchiate dopo aver messo al proprio posto il 5 di cuori sia l’asso di fiori. L’asso di fiori lo mettete al primo posto dell’ultima fila, e scoperchiate la carta che vi era prima, la mettete al proprio posto, e cosi’ via finche’ non vi esce un re. I re vanno al decimo posto della propria fila, il che significa che quando li posate non avrete nessuna carta da scoperchiare, e dovrete scoperchiare la seconda carta che avete in mano e ricominciare da capo. Vincete se riuscite a mettere tutte le carte al proprio posto, perdete se vi escono tutti e quattro i re prima di aver scoperchiato tutte le altre carte. NOTA BENE: nel caso in cui vi escano tutti e quattro i re e abbiate ancora delle carte coperte, potete comunque provare a scoperchiarle. Se esse si trovano gia’ al posto in cui dovrebbero stare, allora avete vinto comunque.

La sega mentale

supponiamo che abbiate gia’ usato tutte e quattro le carte che avevate in mano, ma che vi sia rimasto un numero n di carte coperte, qual’e’ la probabilita’ che queste carte coperte siano tutte gia’ al loro posto?

Ora, al tempo in cui ci siamo posti la domanda non eravamo esattamente in uno stato di sobrieta’, e pertanto dopo tanta caciara avevamo optato per cambiare discorso piuttosto che risolvere il problema. Tuttavia lo stesso problema mi e’ tornato in mente di recente e quindi mi sono imposto di risolverlo, scoprendo che in realta’ e’ molto piu’ semplice di quanto non ci sembrasse.

La soluzione

e’ facilmente intuibile se si pensa al caso in cui rimangono solo due carte coperte. In questo caso esistono due modi in cui le carte coperte potrebbero essere disposte: ciascuna carta potrebbe essere al proprio posto (nel qual caso vincereste), oppure le carte potrebbero essere ciascuna nel posto dell’altra (nel qual caso perdereste). Tradotto in termini probabilistici, avete due elementi che potete permutare in due modi diversi, ciascuno di uguale probabilita’ (ammesso che le carte siano state messe giu’ a caso), e quindi avreste il 50% di probabilita’ di vincere.

Per n carte coperte, il discorso e’ precisamente lo stesso: di tutte le permutazioni di n carte diverse, soltanto una vi fara’ vincere. Il numero di possibili permutazioni di n elementi e’ uguale a n!, ovvero n x (n – 1) x (n – 2) x x 2 x 1.

Dunque, la probabilita’ che le n carte coperte siano tutte al loro posto e’

Infatti, se ci riportiamo al caso in cui ci rimangono due carte scoperte,

  • n = 2
  • n! = 2! = 2 x 1 = 2
  • 1/n! = 1/2 = 0,5 = 50%

Ovviamente, per ogni carta coperta in piu’ che vi rimane, la probabilita’ di vincere si abbassa drasticamente. Se vi rimangono tre carte scoperte, per esempio,

  • n = 3
  • n! = 3 x 2 x 1 = 6
  • 1/n! = 1/6 = 0,1666667

cioe’ avrete circa il 16,7% di probabilita’ di vincere. Se le carte sono quattro, la probabilita’ di vincere sara’ dello 0,42%, e cosi’ via. Nel remoto caso in cui tutte e quattro le carte che avete in mano siano re (il che succede con una probabilita’ dello 0,0000011%), e quindi non possiate scoperchiare nemmeno una carta, allora la probabilita’ di vincere sara’ dello

0,00000000000000000000000000000000000000000027%

auguri.

Giacomo Brusco

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